Casos Notáveis da Matemática: O Guia Mais Fácil com Fórmulas e Exemplos

Os casos notáveis são fórmulas matemáticas que facilitam a resolução rápida de expressões algébricas sem a necessidade de desenvolver todos os cálculos passo a passo. Funcionam como “atalhos” que simplificam operações e, por isso, são considerados ferramentas indispensáveis no estudo da álgebra.

Um caso notável é uma identidade algébrica que apresenta sempre o mesmo resultado, independentemente dos valores escolhidos para as variáveis. A grande vantagem é que podemos reconhecer o padrão e aplicar a fórmula directamente, poupando tempo e reduzindo erros de cálculo.

Principais Casos Notáveis

1. Quadrado da Soma

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Exemplo: (x + 5)² = x² + 2 · x · 5 + 25 = x² + 10x + 25

2. Quadrado da Diferença

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Exemplo: (x – 3)² = x² – 6x + 9

3. Produto da Soma pela Diferença

(a + b)(a – b) = a² – b²

Exemplo: (x + 4)(x – 4) = x² – 16

4. Cubo da Soma

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Exemplo: (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8

5. Cubo da Diferença

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Exemplo: (x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1

6. Soma de Cubos

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Exemplo: x³ + 1³ = (x + 1)(x² – x + 1)

7. Diferença de Cubos

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Exemplo: x³ – 8 = (x – 2)(x² + 2x + 4)

Os casos notáveis não são apenas fórmulas para decorar, mas sim ferramentas que facilitam o raciocínio. Quando os dominas, a álgebra deixa de ser um desafio complicado e passa a ser um terreno fértil para aplicar lógica e criatividade.

Se queres melhorar as tuas notas e ganhar agilidade, dedica uns minutos por dia a estes atalhos matemáticos. Vais ver como fazem toda a diferença! Djii?

Exercícios sobre Casos Notáveis

Resolve os exercícios seguintes aplicando directamente as fórmulas dos casos notáveis. No fim encontras as Soluções para confirmar as tuas respostas.

1. Expande: (x + 7)²
2. Expande: (a – 5)²
3. Expande: (y + 3)(y – 3)
4. Expande: (2m + 4)²
5. Expande: (3p – 1)²
6. Expande: (x + 2)³
7. Expande: (a – 1)³
8. Expande: (x + 5)(x – 5)
9. Factoriza: x² – 25
10. Factoriza: x³ + 8
11. Factoriza: a³ – 27
12. Expande: (y – 6)²
13. Expande: (2x + 1)²
14. Expande: (m – 3)³

Soluções 

1. (x + 7)² = x² + 14x + 49
2. (a – 5)² = a² – 10a + 25
3. (y + 3)(y – 3) = y² – 9
4. (2m + 4)² = 4m² + 16m + 16
5. (3p – 1)² = 9p² – 6p + 1
6. (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8
7. (a – 1)³ = a³ – 3a² + 3a – 1
8. (x + 5)(x – 5) = x² – 25
9. x² – 25 = (x + 5)(x – 5)
10. x³ + 8 = (x + 2)(x² – 2x + 4)
11. a³ – 27 = (a – 3)(a² + 3a + 9)
12. (y – 6)² = y² – 12y + 36
13. (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1
14. (m – 3)³ = m³ – 9m² + 27m – 27

Quiz: Limites e Casos Notáveis

Selecciona a opção correcta. Usa os casos notáveis para simplificar as expressões antes de calcular o limite.

1. Pergunta 1
   Calcula: lim_x→0 ((x+1)² – 1) / x

   C) 2
   A) 0
   B) 1
   D) Infinito

2. Pergunta 2
   Calcula: lim_x→0 ((x+2)² – 4) / x

   C) 4
   A) 2
   B) 3
   D) 5

3. Pergunta 3
   Calcula: lim_x→0 ((x+1)³ – 1) / x

   C) 3
   A) 1
   B) 2
   D) 4

4. Pergunta 4
   Calcula: lim_x→2 (x² – 4) / (x – 2)

   C) 4
   A) 2
   B) 3
   D) 5

5. Pergunta 5
   Calcula: lim_x→1 (x³ – 1) / (x – 1)

   C) 3
   A) 1
   B) 2
   D) 4

6. Pergunta 6
   Calcula: lim_x→-1 (x³ + 1) / (x + 1)

   D) 3
   A) -1
   B) 0
   C) 2

7. Pergunta 7
   Calcula: lim_x→2 (x³ – 8) / (x – 2)

   D) 12
   A) 2
   B) 4
   C) 6

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